[sp]This is best done using complex numbers. Let $\lambda = e^{ix}$, $\omega = e^{2\pi i/3}$. Then $\cos x = \frac12(\lambda + \lambda^{-1})$, $\cos \left( x+\frac{2 \pi}{3} \right) = \frac12(\lambda\omega + \lambda^{-1}\omega^{-1})$, $\cos \left( x+\frac{4 \pi}{3} \right) = \frac12(\lambda\omega^2 + \lambda^{-1}\omega^{-2})$, and $$ \cos^7 x+\cos^7 \left( x+\tfrac{2 \pi}{3} \right)+\cos^7 \left( x+\tfrac{4 \pi}{3} \right) = 2^{-7}\bigl((\lambda + \lambda^{-1})^7 + (\lambda\omega + \lambda^{-1}\omega^{-1})^7 + (\lambda\omega^2 + \lambda^{-1}\omega^{-2})^7\bigr).$$ Now expand by the binomial theorem and use the facts that $\omega^3=1$ and $1+\omega+\omega^2=0$: $$\begin{aligned} \cos^7 x+\cos^7 \left( x+\tfrac{2 \pi}{3} \right)+\cos^7 \left( x+\tfrac{4 \pi}{3} \right) &= 2^{-7}\bigl(\lambda^7(1+\omega^7+\omega^{14}) + 7\lambda^5(1+\omega^5+\omega^{10}) + 21\lambda^3(1+\omega^3+\omega^6) + 28\lambda(1+\omega+\omega^2)\bigr. \\ & \qquad {} + \bigl.28\lambda^{-1}(1+\omega^{-1}+\omega^{-2}) + 21\lambda^{-3}(1+\omega^{-3}+\omega^{-6}) + 7\lambda^{-5}(1+\omega^{-5}+\omega^{-10}) + \lambda^{-7}(1+\omega^{-7}+\omega^{-14})\bigr) \\ &= 2^{-7}\bigl((\lambda^{7} + \lambda^{-7})(1+\omega+\omega^2) + 7(\lambda^{5} + \lambda^{-5})(1+\omega+\omega^2) \\ & \qquad {} + 21(\lambda^{3} + \lambda^{-3})(1+1+1) + 28(\lambda + \lambda^{-1})(1+\omega+\omega^2)\bigr) \\ &= 2^{-7}\cdot21\cdot3(\lambda^{3} + \lambda^{-3}) = \frac{63}{2^6}\cos(3x). \end{aligned}$$ Thus the answer is $(1-2^{-6})\cos(3x).$[/sp]anemone said:Express $\cos^7 x+\cos^7 \left( x+\dfrac{2 \pi}{3} \right)+\cos^7 \left( x+\dfrac{4 \pi}{3} \right)$ in terms of $\cos 3x$.
anemone said:Thank you again Opalg for participating! I think we used the pretty same approach, because the coefficients of the terms that we have in our methods are all the same.
My solution:
According to the power reduction formula, we have
$\cos^7 x=\dfrac{35\cos x+21\cos 3x+7\cos5x+\cos7x}{64}$
hence
$\cos^7 \left(x+\dfrac{2 \pi}{3} \right)=\dfrac{35\cos \left(x+\dfrac{2 \pi}{3} \right)+21\cos 3\left(x+\dfrac{2 \pi}{3} \right)+7\cos5\left(x+\dfrac{2 \pi}{3} \right)+\cos7\left(x+\dfrac{2 \pi}{3} \right)}{64}$
$\cos^7 \left(x+\dfrac{4 \pi}{3} \right)=\dfrac{35\cos \left(x+\dfrac{4 \pi}{3} \right)+21\cos 3\left(x+\dfrac{4 \pi}{3} \right)+7\cos5\left(x+\dfrac{4 \pi}{3} \right)+\cos7\left(x+\dfrac{4 \pi}{3} \right)}{64}$
Notice that
$35\cos x+35\cos \left(x+\dfrac{2 \pi}{3} \right)+35\cos \left(x+\dfrac{4 \pi}{3} \right)=35\left( \cos x+\cos \left(x+\dfrac{2 \pi}{3} \right) \right)+35\cos \left(x+\dfrac{4 \pi}{3} \right)$
$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=35\left( 2 \cos \left(\dfrac{ \pi}{3} \right) \cos \left( x+\dfrac{ \pi}{3} \right) \right)+35\cos \left(x+\dfrac{4 \pi}{3} \right)$
$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=35 \cos \left( x+\dfrac{ \pi}{3} \right) +35\cos \left(x+\dfrac{4 \pi}{3} \right)$
$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=35 \left( \cos \left( x+\dfrac{ \pi}{3} \right) +\cos \left(x+\dfrac{4 \pi}{3} \right) \right)$
$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=35 \left( 2\cos \left( \dfrac{ \pi}{2} \right) \cos \left(x+\dfrac{5 \pi}{6} \right) \right)$
$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=0$
Similarly,
$21\cos 3x+21\cos 3\left(x+\dfrac{2 \pi}{3} \right)+21\cos 3\left(x+\dfrac{4 \pi}{3} \right)=21\cos 3x+21\cos (3x+2 \pi)+21\cos (3x+2 \pi)$
$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=21\cos 3x+21\cos 3x+21\cos 3x$
$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=63\cos 3x$
$7\cos5x+7\cos5\left(x+\dfrac{2 \pi}{3} \right)+7\cos5\left(x+\dfrac{4 \pi}{3} \right)=7\left( \cos 5x+\cos 5\left(x+\dfrac{2 \pi}{3} \right) \right)+7\cos 5\left(x+\dfrac{4 \pi}{3} \right)$
$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=7\left( 2 \cos \left(\dfrac{ 5\pi}{3} \right) \cos \left( 5x+\dfrac{ 5\pi}{3} \right) \right)+7\cos \left(5x+\dfrac{20 \pi}{3} \right)$
$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=7 \cos \left( 5x+\dfrac{ 5\pi}{3} \right) +7\cos \left(5x+\dfrac{20 \pi}{3} \right)$
$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=7 \left( \cos \left( 5x+\dfrac{ 5\pi}{3} \right) +\cos \left(5x+\dfrac{20 \pi}{3} \right) \right)$
$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=7 \left( 2\cos \left( \dfrac{ 5\pi}{2} \right) \cos \left(5x+\dfrac{25 \pi}{6} \right) \right)$
$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=0$
and finally
$\cos7x+\cos7\left(x+\dfrac{2 \pi}{3} \right)+\cos7\left(x+\dfrac{4 \pi}{3} \right)=\left( \cos 7x+\cos 7\left(x+\dfrac{2 \pi}{3} \right) \right)+\cos 7\left(x+\dfrac{4 \pi}{3} \right)$
$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\left( 2 \cos \left(\dfrac{ 7\pi}{3} \right) \cos \left( 7x+\dfrac{ 7\pi}{3} \right) \right)+\cos \left(7x+\dfrac{28 \pi}{3} \right)$
$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;= \cos \left( 5x+\dfrac{ 5\pi}{3} \right) +7\cos \left(5x+\dfrac{20 \pi}{3} \right)$
$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\left( \cos \left( 7x+\dfrac{ 7\pi}{3} \right) +\cos \left(7x+\dfrac{28 \pi}{3} \right) \right)$
$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=2 \left( 2\cos \left( \dfrac{ 21\pi}{2} \right) \cos \left(7x+\dfrac{35 \pi}{6} \right) \right)$
$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=0$
Therefore
$\cos^7 x+\cos^7 \left( x+\dfrac{2 \pi}{3} \right)+\cos^7 \left( x+\dfrac{4 \pi}{3} \right)=0+\dfrac{63 \cos 3x}{64}+0+0=\dfrac{63 \cos 3x}{64}$
kaliprasad said:1st step to decompose $cos ^7x$ as sum of cos x , cos 3x terms etc is good
using cos x + cos $( x+\dfrac{2 \pi}{3}$ ) + cos $( x+\dfrac{4 \pi}{3} $) = 0 for 5x and 7x can be made as zero
as cos 5 $( x+\dfrac{2 \pi}{3} $) = cos $( 5 x+\dfrac{4 \pi}{3} $) so on and all terms except 3x can be made zero. this reduces number of steps
anemone said:I should have thought of this earlier so that that would save me all the trouble struggling with the latex!
\begin{align}...\end{align}mathbalarka said:One way of aligning the equation is to use
to save your time.Code:\begin{align}...\end{align}
The Trigonometric Challenge is a mathematical exercise that tests a person's ability to solve complex trigonometric problems and improve their understanding of trigonometry.
Anyone with a basic understanding of trigonometry can participate in the challenge. It is commonly used as a practice exercise for students studying trigonometry in high school or college.
The difficulty of the problems varies depending on the level of the challenge. Some may be more basic and suitable for beginners, while others may be more advanced and challenging for experienced individuals.
Yes, the Trigonometric Challenge can help improve your mathematical skills, specifically in the area of trigonometry. It can also help you practice problem-solving and critical thinking skills.
Yes, there are many online resources and practice problems available to help you prepare for the Trigonometric Challenge. Additionally, seeking help from a math tutor or teacher can also be beneficial in improving your skills.