Hi
I like Serena, thanks for participating and I want to tell you that the number of judges, i.e.$$b$$ should be an odd integer.
Sorry...I will show the solution I found online and I hope you and others will enjoy reading it just as much as I do.First, let us count the number $$N$$ of the group (judge, judge, contestant) for which the two judges are distinct that rate the contestant the same. There are $${b \choose 2}=\frac{b(b-1)}{2}$$ pairs of judges in total and each pair rates at most $$k$$ contestants the same, so we have $$N\le \frac{kb(b-1)}{2}$$.Now, consider a fixed contestant $$X$$ and count the number of pairs of judges rating $$X$$ the same. Suppose $$x$$ judges pass $$X$$, then there are $$\frac{x(x-1)}{2}$$ pairs who pass $$X$$ and $$\frac{(b-x)(b-x-1)}{2}$$ who fail $$X$$, so a total of $$\frac{x(x-1)}{2}+\frac{(b-x)(b-x-1)}{2}$$ pairs rate $$X$$ the same.
But
$$\frac{x(x-1)}{2}+\frac{(b-x)(b-x-1)}{2}=\frac{2x^2-2bx+b^2-b}{2}$$
$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;= \frac {2(x^2-bx)+b^2-b}{2}$$
$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;= \frac {2((x-\frac{b}{2})^2-\frac{b^2}{4})+b^2-b}{2}$$
$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;= \frac{2(x-\frac{b}{2})^2+\frac{b^2}{2}-b}{2}$$
$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=(x-\frac{b}{2})^2+\frac{b^2}{4}-\frac{b}{2}$$
$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\ge \frac{b^2}{4}-\frac{b}{2}$$
$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\ge \frac{1}{4}\left(b^2-2b\right)$$
$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\ge \frac{1}{4}\left((b-1)^2-1\right)$$
$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\ge \frac{1}{4}(b-1)^2-\frac{1}{4}$$
Since $$\frac{(b-1)^2}{4}$$ is an integer ($$b\ge 3$$ and b is odd integer), so the number of pairs rating $$X$$ the same is at least $$\frac{(b-1)^2}{4}$$. Hence, $$N\ge \frac{a(b-1)^2}{4}$$.
Putting the two inequalities of N together gives $$\frac{k}{a} \ge \frac{(b-1)}{2b}$$.
